确界存在原理英语

我也数学的大一。这些性质是没有什么用的，且列不完。其实最好在实数系的一些定理及其经典证明中领会确界的精妙之处。

sup：函数值的上界 数学上用Sup{}这个记号表示“上确界”，即最小上界。为英文supremum的缩写。 inf：函数值的下界 inf，表示下确界，英文名infimum。 max：函数值的最大值 maximum的缩写 min：函数值的最小值

根据确界定理可知，有界数集必有确界，以上确界为例，用反证法证明：

假设有两个上确界a，b，且a0,

取数集中任何数x，x+e<=(a+b)/2

所以得证一个数集的上确界存在，那么它必定唯一。

确界原理（ supremum and infimum principle ）是刻画实数完备性的命题之一。设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

扩展资料：

确界定理的推广：

若把+∞和-∞补充到数集当中，并规定任意一实数a与+∞，-∞的关系为-∞

若S无下界，则定义-∞为S的非正常下确界，记做inf S=-∞，相应的，若S有上确界或者下确界，则此定义分别成为正常上确界和正常下确界。

任意一非空数集必有上确界和下确界（包括正常的和非正常的）

有界集定义 定义一：设S为R的一个数集。若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界（下界）。 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。例题：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。 证：显然，任何一个不大于零1的实数都是N+的下界，故N+为有下界的数集。 现在要证N无上界，按照定义，只需证明：对于无论多么大的数M，总存在某个正整数n0（∈N+），使得n0>M。事实上，对于任何一个正数M（不论这个数是多么的大），总存在一个数N=[M]+1([X]表示不超过X的最大整数)，使得N>M.这就证明了N+无上界。 确界的定义 文字描述：若数集S有上界，显然S有无穷多个上界（因为任何大于有界集S最大的数都是S的上界），其中最小的一个我们将它称为S的上确界（用sup S表示）。同样的有，有下界数集S的最大下界称为该数集的下确界（用inf S表示）。（sup为拉丁文supermun的简写，inf为拉丁文infimun的简写）。 上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足 （i）对一切x∈S，有η≥S，即η是S的上界； （ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界； 下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足： （i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界； （i）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；函数的确界：设数集S，记U为S的上界全体所组成的集合，则U中一定有一个最小数，设最小数为贝塔，贝塔即为数集S的上确界，记为贝塔=sup S设数集S，记L为S的下界全体所组成的集合，则L中一定有一个最大数，设最大数为阿尔法，贝阿尔法即为数集S的下确界，记为贝阿尔法=inf S