数学专业英语翻译

Some basic principles of combinatorial analysis组合分析的一些基本原则Many problems in probability theory and in other branches of mathematics can be reduced to problems on counting the number of elements in a finite set. 许多概率论和其他一些数学分支上的问题，都可以简化成基于计算有限集合中元素数量的问题。Systematic methods for studying such problems form part of a mathematical discipline known as combinatorial analysis.研究这些问题的系统方法，是一个数学学科--组合分析的一部分。 In this section we digress briefly to discuss some basic ideas in combinatorial analysis that are useful in analyzing some of the more complicated problems of probability theory. 在本节，我们将离题简要地讨论一些组合分析的基本概念，它对于分析概率论中一些更复杂的问题是十分有用的。If all the elements of a finite set are displayed before us, there is usually no difficulty in counting their total number. 如果一个有限集合的所有元素都展示在我们面前，通常不会难以计算其元素的总数。More often than not, however, a set is described in a way that makes it impossible or undesirable to display all its elements. 然而，更多的往往是一些不能够描述或者不能够展示其所有元素的集合。For example, we might ask for the total number of distinct bridge hands that can be dealt. 例如，我们会问打桥牌时手牌的有多少种不同的组合。Each player is dealt 13 cards from a 52-card deck. 每个玩家处理从52张牌中发的13张牌。The number of possible distinct hands is the same as the number of different subsets of 13 elements that can be formed from a set of 52 elements.可能的不同手牌组合数相当于从含有52个元素的集合在中选出13个元素组成不同的子集的子集的个数。Since this number exceeds 635 billion, a direct enumeration of all the possibilities is clearly not the best way to attack this problem; 因为这个数字超过了635亿，直接枚举所有的可能性显然不是解决这个问题的最好方式。however, it can readily be solved by combinatorial analysis.然而，它可以很容易地用组合分析来解决。This problem is a special case of the more general problem of counting the number of distinct subsets of k elements that may be formed from a set of n elements (When we say that a set has n elements,we mean that it has n distinct elements.Such a set is sometimes called an n-element set.), where n >=k. Let us denote this number by f(n,k).  这个问题是一个更普遍的问题的一种特殊情况，一个含有n个元素的集合有多少个含有k个元素的子集，这里n大于等于k。 It has long been known that ,(12.1)我们用来表示,众所周知(12.1)where, as usual denotes the binomial coefficient,这里，像通常一样表示一个二项式In the problem of bridge hands we have different hands that a player can be dealt.在这个问题里面，每个玩家的可能手牌有种不同的情况。There are many methods known for proving(12.1). 有许多已知的方法可以证明（12.1）。A straightforward approach is to form each subset of k elements by choosing the elements one at a time. 一种直接的方法是，每次从原来的集合中取一个元素，共取k次构成一个含有k个元素的集合。There are n possibilities for the first choice, 1n possibilities for the second choice, and possibilities for the kth.第一次选择元素有n种可能，第二次有n-1种可能，依次类推，第k次有种可能n-(k-1)。If we make all possible choices in this manner we obtain a total ofsubsets of k elements.如果我们用这种方式做出所有可能的选择，那么一共有个k元素子集。Of course, these subsets are not all distinct. 当然，这些子集并不是都不相同。For example, if k =3 the six subsets{a,b,c},{b,c,a},{c,a,b},{a,c,b},{c,b,a},{b,a,c}are all equal.举个例子，如果k=3，这6个子集{a,b,c},{b,c,a},{c,a,b},{a,c,b},{c,b,a},{b,a,c}是相同的。In general, this method of enumeration counts each k-element subset exactly times. 在一般情况下，这种统计方式把每个k元素子集统计了k!次。Therefore we must divide the number by to obtain . This gives us, as asserted.因此，我们必须把除以k!来得到。以上确切的告诉我们。

你的operationsresearch打错了 是operation research啊！ 1。在真正的数字系统中，各种数量的确定和命名。这些数字1，2，3，4，...的计数过程中，所使用的被称为自然号码。自然数，连同-1，-2，-3，-4，...和零，被称为整数。从1,2,3,4，...的大于0时，它们也被称为正整数;-1，-2，-3，-4，...是小于0的，基于这个原因，被称为负整数。被说成是一个实数有理数，如果它可以被表示为比两个整数，其中分母不为零。整数包括以来的有理数之间的任意整数，可以表示为整数本身和一个比。一种实数，不能表示为两个整数的比率被说成是一个无理数。2。图论是一个快速增长的数学分支。在本章所讨论的图表的函数的曲线图，我们先前研究的不一样，但一个一种完全不同的。像许多重要的发现和新领域的图理论学习，也增加了一个有趣的物理问题，所谓的哥尼斯堡桥问题。 （此问题，在第2节中讨论）优秀的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（1707年至1783年）解决了问题在1736年，该分支的数学奠定了基础。因此，欧拉图论中被称为父亲。3。的开始运筹学发生在英国的军事背景在第二次世界大战期间Ⅱ，它很快就被占用的名义下操作美国研究（OR）。战争结束后，它与发展产业组织，它的许多技术允许拓展在美国，英国，和其他工业应用国家。然而，它的操作研究不容易给出一个确切的定义，有三种不同的代表性的定义。

种类繁多的科学问题，试图确定什么样的变化率。例如，我们可以尝试计算粒子运动的速度或加速度的位置。或放射性物质衰变率在一个已知的，我们可能需要在给定的时间来确定数额的物质存在。在这个例子中，我们正试图确定一个未知函数从指定的表达形式的方程涉及至少一个未知函数导数。这些方程被称为微分方程，和形成的最具挑战性的数学分支之一。微分方程分为两个主要标题：一般和地方，根据它是否是一个未知函数只有一个变量或多个变量。一个简单的例子，一个常微分方程的关系感到满意，特别是指数函数，函数。我们应该看到溶液（9.1）必须存在的，是当地的一种形式，可以是任何常数。另一方面，像＃＃＃方程的一个例子是偏微分方程。这种特殊的一个，被称为拉普拉斯方程，电学和磁学理论，流体动力学，和其他地方出现。有许多种不同的解决方案，包括＃＃＃＃。数学方程，也许比任何其他的研究已经直接力学，天文学，物理学和数学的启发。它的历史开始于十七世纪，牛顿，莱布尼兹，和一些简单的微分方程，伯努利解决问题的几何和力学。早期发现，大约开始于1690年，逐渐发展导致了许多“绝技”，为解决一些特殊类型的微分方程。虽然这些技术也适用于力学和几何形状，他们的研究具有现实意义。一些特殊的方法的一些问题，帮助我们解决了附近本章结尾。经验表明，这是很难获得的数学理论的一般性的了解微分方程的解，除了数种。在这些所谓的线性微分方程的各种科学问题。在这篇介绍性的章节中讨论的简单线性微分方程及其应用。更深入的研究，线性方程组Ⅱ??量。

大致讲的是什么是自然数，正数，负数及数字的运用

1. 在实数系中，不同种类的数字得以确定和命名。在数数时所用到的1,2,3,4, … 等数字被称为自然数。自然数以及-1, -2, -3, -4 和0都被称为整数。由于1,2,3,4,…都大于0，这些数字也被称为正整数；-1,-2,-3,-4,…都小于0，因此这些数字被称为负整数。如果一个实数能用两个整数之比来表示（分母不能为0），那么这个实数就是有理数。整数包括在有理数之中，因为任何一个整数都可以表示为该整数自己与1之比。如果一个实数不能用两个整数之比来表示，则该实数就是无理数。2. 图论是发展迅速的一个数学分支。本章所讨论的图形不同于我们之前所学过的函数图形，而是一种全新的图形。就如同很多学问的重要发现和新领域一样，图论也出自一个有趣的物理问题，即所谓的哥尼斯堡桥问题（该问题在2小节予以讨论）。杰出的瑞士数学家莱昂哈德*欧拉(1707-1783)于1736年解决了这个问题，并因此而为数学的这个分支奠定了基础。因此，欧拉被称为图论之父。3. 运筹学出现在二战时期英国的战争背景下，并很快被美国以运筹学的名义开始进行研究。二战结束以后，运筹学与行业组织共同发展，并且运筹学的很多技术使得美国的应用领域得以拓宽。但是，要对运筹学给出一个准确的定义却并非易事。具有代表性的有三个不同定义。