数学物理方法考试题

解:特征函数法设u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l),n=1..∞代入范定方程及初值条件有∑[T'(t)+(nπa/l)²T(t)]sin(nπx/l)=2sin(2x/l)u(x,t)=∑T(0)sin(nπx/l)=0,得T(0)=0利用函数系{sin(nπx/l)|n=0..n}在(0,l)上的正交性有T'(t)+(nπa/l)²T(t)=(4/l)∫(0~l)sin(nπx/l)sin(2x/l)dx =(-1)^n(4nπsin2)/[4-(nπ)²]=q(n)（记）则T(t)=exp[-(nπa/l)²t]∫(0~t)q(n)exp[(nπa/l)²t]dt =(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}定解u(x,t)=∑T(t)sin(nπx/l) =∑(l/nπa)²q(n){1-exp[-(nπa/l)²t]}sin(nπx/l),n=1..∞

根据柯西定理（其中f(ζ)是曲线l围成的区域中的解析函数），题中积分I=πi(cosz)''=-πicosi=-πi(e^2+1)/2e

这是定解问题，utt-a^2uxx=f(x,t)是个非齐次方程初始条件：u(x,0)=sin²(πx / l),ut(x,0)=0,边界条件：u(0,t)=0,u(l,t)=0由它的齐次方程知u(x,t)可以展开为级数=Σ(n=1到无穷)Tn(t)sin(nπx/l),f(x,t)=Σ(n=1到无穷)fn(t)sin(nπx/l),整个过程貌似太多了，你还是看书吧，教材上肯定有分离变量法的做法，这道题就把相应的初始条件和边界条件带进去就可以了。