协方差公式注册会计师

自协方差在统计学中，特定时间序列或者连续信号Xt的自协方差是信号与其经过时间平移的信号之间的协方差。如果序列的每个状态都有一个平均数E[Xt] = μt，那么自协方差为

其中 E 是期望值运算符。如果Xt是二阶平稳过程，那么有更加常见的定义：

其中k是信号移动的量值，通常称为延时。如果用方差σ^2 进行归一化处理，那么

自协方差就变成了自相关系数R(k)，即

有些学科中自协方差术语等同于自相关。

在有限的二阶矩的情况下，两个共同分布的实值随机变量X和Y之间的协方差被定义为它们偏离各自期望值的期望乘积。但协方差的计算有多种形式，和定义的一般格式有所区别。

需要注意，如果用协方差计算相关系数。协方差中的X,Y已经假设样本数据为全体数据的集合。此时，协方差公式中的标准差计算时，需要除以N而不是N-1。

参考资料：百度百科-协方差计算

协方差定义为：

COV（X，Y）=E［（X-E（X））（Y-E（Y））］

等价计算式为COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）。

例如：

Xi 1.1 1.9 3

Yi 5.0 10.4 14.6

E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2

E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10

E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

协方差公式推导

cov(X,Y)=∑ni=1(Xi−X¯)(Yi−Y¯)n=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−X¯)(Yi−Y¯)n=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]

=E[XY−E[X]Y−XE[Y]+E[X]E[Y]]=E[XY−E[X]Y−XE[Y]+E[X]E[Y]]

因为均值计算是线性的，即（a和b均为常数）：

E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]

方差的概念与计算公式，例1 两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X)=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y)=72。平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X)：直接计算公式分离散型和连续型。推导另一种计算公式得到：“方差等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数”。其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

参考资料：协方差计算-百度百科

COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）协方差cov（x，y）=相关系数r×两项资产标准差乘积。拓展资料：在财务管理上，协方差是一个用于测量资产组合中某一具体投资项目相对于另一个投资项目风险的统计指标。我们需要记住这个公式，两项资产收益率的协方差=两项资产收益率之间的相关系数×第一种资产收益率的标准差×第二种资产收益率的标准差。协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 [1] 在概率论和统计学中，协方差用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。 [1] 定义： 期望值分别为E[X]与E[Y]的两个实随机变量X与Y之间的协方差Cov(X，Y)定义为： 从直观上来看，协方差表示的是两个变量总体误差的期望。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。 如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。 但是，反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。 协方差Cov(X，Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。 协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。

cov(x,y)=EXY－EX*EY

协方差的定义，EX为随机变量X的数学期望，同理，EXY是XY的数学期望，挺麻烦的，建议你看一下概率论cov(x,y)=EXY－EX*EY

协方差的定义，EX为随机变量X的数学期望，同理，EXY是XY的数学期望，挺麻烦的，建议你看一下概率论

举例：

Xi 1.1 1.9 3

Yi 5.0 10.4 14.6

E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2

E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10

E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02

此外：还可以计算：D(X)=E(X^2)-E^2(X)=(1.1^2+1.9^2+3^2)/3 - 4=4.60-4=0.6 σx=0.77

D(Y)=E(Y^2)-E^2(Y)=(5^2+10.4^2+14.6^2)/3-100=15.44 σy=3.93

X,Y的相关系数：

r(X,Y)=Cov(X,Y)/(σxσy)=3.02/(0.77×3.93) = 0.9979

表明这组数据X,Y之间相关性很好!

扩展资料：

协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。

协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。

如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。

若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。

协方差与方差之间有如下关系：

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)

协方差与期望值有如下关系：

Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

协方差的性质：

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；

（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常数）；

（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。

由协方差定义，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：

定义

称为随机变量X和Y的(Pearson)相关系数。

方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。

方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。

方差在统计描述和概率分布中各有不同的定义，并有不同的公式。

在统计描述中，方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间的差异。为避免出现离均差总和为零，离均差平方和受样本含量的影响，统计学采用平均离均差平方和来描述变量的变异程度。总体方差计算公式：

为总体方差， 为变量，  为总体均值，  为总体例数。

实际工作中，总体均数难以得到时，应用样本统计量代替总体参数，经校正后，样本方差计算公式：S^2= ∑（X-  ） ^2 / （n-1）

S^2为样本方差，X为变量，  为样本均值，n为样本例数。

参考资料：百度百科-协方差

协方差的性质（1）COV(X，Y)=COV(Y，X)； （2）COV(aX，bY)=abCOV(X，Y)，（a，b是常数）； （3）COV(X1+X2，Y)=COV(X1，Y)+COV(X2，Y)。 由性质（3）展开cov(x-2y,2x+3y)=cov(x-2y,2x)+cov（x-2y,3y)=cov(x,2x)-cov(2y,2x)+cov(x,3y)-cov(2y,3y)又有COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。以上四式可分别写成cov(x,2x)=E(2x^2)-E(x)E(2x)=2Ex^2-2ExEx=2Dx --1cov(2y,3y)=E(6y^2)-E(2y)E(3y)=6Ey^2-6EyEy=6Dy --2 cov(2y,2x)=E(4xy)-E(2y)E(2x)=4Exy-4ExEy --3cov(x,3y)=E(3xy)-E(x)E(3y)=3Exy-3ExEy --4（x^2的意思是 x的二次方 y^2的意思是 y的二次方）由以上四式得cov(x-2y,2x+3y)=2Dx-（4Exy-4ExEy）+ （3Exy-3ExEy）-6Dy=2Dx-6Dy-(Exy-ExEy)=2Dx-cov(x,y)-6Dy 协方差性质 参考