我们看它是怎么产生的。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x₀)=f(x₀)-P(x₀)=0.所以可以得出Rn(x₀)=Rn'(x₀)=Rn''(x₀)=……=Rn(n)(x₀)=0.根据柯西中值定理可得:Rn(x)/(x-x₀)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x₀)/(x-x₀)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x₀)^n(注:(x-x₀)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x₀之间;继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x₀)/(n+1)(ξ1-x₀)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x₀)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x₀之间;连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x₀)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x₀和x之间.但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x).综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x₀)^(n+1).可见,根据中值定理,他是属于(x,x₀)之间的一个值。