广东专升本函数的有界性

函数的有界性定义：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。讨论函数的有界性，除了需要给定函数，还需要给定讨论的范围（一般是区间）。函数y=lnx在其定义域内是无界的，但是对任b>a>0，这个函数在区间(a,b)内却是有界的。如果函数的图像有无限向上升或者无限向下降的，就是无界，如果没有无限上升或无限下降，像y=sinx这样，他就是有界的了。

函数的有界性指的是函数值取值范围的有限性,例如 正弦函数f(x)=sin x ,取值范围是 -1到1 ,是一个有限的范围,因此可以说这个函数有界,而 y=x 这个函数的取值范围是 R,是一个无限的范围,所以可以说这个函数无界用数学语言描述：存在M∈R,使任意x∈f(x)的定义域,都有 |f(x)| ≤M,则称函数f(x)有界。

这个定义还不怎么难理解。函数有界就是指在函数的定义域内，这个函数的所有函数值的绝对值不会比某个固定的正数M大。显然这个固定的正数M不是唯一的，比如若有一个正数M1满足条件，则任何一个大于M1的正数M2也满足条件，都可以作为定义里的固定数M，就像你举的例子sinx那样。至于为什么要用函数值得绝对值形式，是因为若没有绝对值，f(x)<=M，函数不一定有下界，如在（-1，0）内，函数1/x<1，但此函数是无下界。因此有界是指函数既要有上界，又要有下界，这样才叫有界。

如果存在一个常数M,对于变量x在定义域内,函数f(x)都满足f(x)N，则称f(x)下有界,又称下有界函数如果上有界又是下有界函数称有界函数不是区间，区间是人为定义的，而有界是函数本生属性列如：y=sinx

设A为函数f（x）定义域的子集，若存在常数M，使对所有x∈A，都有f（x）≤M（或f（x）≥M），则称在A上有上（或下）界，M为它的一个上（或下）界。f（x）的所有上界中必然存在最小的，则称这个最小的上界为f（x）在A上的上确界，记作:sup{f（x）}，f（x）的所有下界中必然存在最大的，则称这个最大的下界为f（x）在A上的下确界，记作：inf{ f（x）}。若函数f（x）在A上既有上界又有下界，则称f（x）为A上的有界函数，不难看出，对于A上的有界函数，必存在正数M，使对所有x∈A恒有|f（x）|≤M有界函数的图象介于两条直线y=±M之间；在闭区间上连续的函数是有界函数；在中学里，最基本的有界函数是y=sinx，y=cosx；利用函数的有界性可以处理方程与不等式问题。

对于一个函数F(x),如果在定义域D内,满足a《F(x)《b,则称F（x）在D内有界。例如：对于函数f（x）=arcsin x，对于实数范围内的任意x，始终有-1《f（x）《1则f（x）有界。

有界性大致就是函数值有一个确定范围的意思。一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+1在[1，2]上有最小值2，最大值3，所以说它的函数值在2和3之间变化，是有界的，所以具有有界性。

图像画一个，或逼近法。

那个d是定义域的意思，就是存在一个数m，使得x在定义域内对应的函数值的绝对值小于等于m

所谓函数f(x)具有有界性就是指：设f(x)在D上有定义，若存在某一固定的正数M，对于每一x∈D，都成立│f(x)│≤M，则说f(x)在D上有界。

函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性是函数的四大基本性质。 有界性：在函数的定义域内有|f(x)|≤M（M为任意一个确定的正数）恒成立，我们就说函数是有界的，这样的函数就叫有界函数，函数的这种性质就是函数的有界性。 关于“ln（x-1）x趋近于1时为什么是y趋向于负无穷”，怎么解释呢？ln(x) x趋近于0时函数值趋向于负无穷，x趋近于1时，x-1趋近于0，所以，x趋近于1时，ln(x-1)趋近于负无穷！ 为了更好地理解这一点，你可以画出ln(x)的图像，然后将坐标轴右移一个单位，观察一下。 另外，附带说一句，因为ln(x-1)不满足“|f(x)|≤M（M为任意一个确定的正数）恒成立”，所以，ln(x-1)不是有界函数。